「数学って必要?」を検証〜『2次方程式の虚数解』編

数学って必要?

あるお菓子屋さんが新製品を発売します。その原価は100円です。もちろん値段が高いほど利益は大きくなりますが、値段を高くすると販売数が減ります。ここでは値段をx円とすると販売数は500-x個になるとします。この商品で80,000円の利益を得るためには、販売価格を何円にすれば良いでしょうか。

xを値段とすると、1個当たりの利益はx-100(円)だから、総利益は(x-100)(500-x)と表される。これが、80,000円となるから、

(x-100)(500-x)=80000

整理して x^2-600x+130000=0

解の公式にa=1 b=-600 c=130000を代入して

x=300-200i , 300+200i

つまり、値段を300-200i円、または300+200i円にすれば80,000円の利益を出せる計算になります。しかし、当然こんな値段にすることはできません。つまり、80,000円の利益を出すことは不可能なことがわかるだけです。

2次方程式を実際に使うときには、解が意味のある数字かどうか確認することが必要です。この問題のように虚数になると意味がありませんし、負の数になったときも値段は負にできませんから、意味がないことになります。

Reference:数学大百科事典 仕事で使う公式・定理・ルール127

<解説>

2乗して-1になる数を虚数といいます(i^2=-1)。虚数を使えば解は得られますが、現実世界において、虚数解は意味がないことが多いです。

なお、2次方程式ax^2+bx+c=0の解の公式は、

x=(-b±(b^2-4ac)^(1/2))/2a

ですが、5次以上になると、解の公式は存在しないことが証明されています。

但し、解が存在しないというわけではなく、四則演算(+,-,×,÷)とべき乗(a^nなど、aをn回掛け算する計算)で表現できないというだけです。

なお、ビジネスで高次方程式を解く場合は、近似計算(厳密解ではなく近似解で代用)が一般的です。

「数学って必要?」とは

数学って必要?」では、数学が社会に出て役に立つのか、また役に立つのであれば、どのような場面で役に立っているのか、ということを解説しています。「数学って必要だったんだ」と少しでも感じて頂ければ幸いです。




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